浅谈数学期望及其应用

浅谈数学期望及其应用

摘要：数学期望作为随机变量最基本的特征之一，它描述了分布的特征，反映了随机变量平均取值的大小。自始至终，数学期望都对数学概率论产生了很重要的影响，并发挥着重要的作用。

本文通过对数学期望基本的认识及几个定义的概述和计算方法，将数学中所学的积分公式等结合在一起，从而找到了如何运用数学期望来证明不等式的方法，并举出了如何在生活中运用数学期望解题的例子，比如在经济决策中如何运用、在医学普查中如何运用、在物流管理中如何运用，甚至在其他方面如何运用，这对于我们之后进一步研究数学期望有很大的作用。

关键词:数学期望的定义概述，不等式证明，应用，经济，医学，物流

1 绪论 3

1.1数学期望的起源及发展史 3

1.2 研究数学期望的目的与意义 3

1.2.1研究目的 3

1.2.2研究意义 4

2 预备知识 5

2.1 基本概念 5

2.1.1 离散型随机变量及其数学期望的定义 5

2.1.2连续型随机变量及其数学期望的定义 6

2.2相关性质及定理 7

3 数学期望的应用 8

3.1 数学期望在证明不等式中的应用 8

3.2 数学期望在经济决策中的应用 9

3.2.1 商店进货决策 9

3.2.2 风险投资决策 10

3.3数学期望在医学疾病普查中的应用 11

3.3.1 在血液检验问题中的应用 11

3.4数学期望在物流管理中的应用 12

3.4.1 最优采购批量的选择 12

3.4.2 最优进货量的选择 13

3.4.3 最优运输方案的选择 14

3.5数学期望在其他生活中的应用 15

3.5.1 在法律纠纷问题中的应用 15

3.5.2 在机器故障问题中的应用 15

5 结论与启示 17

谢辞 18

参考文献 19

1 绪论

1.1数学期望的起源及发展史

说到数学期望的起源，那就要归根于一个比赛小故事。在17世纪中期，法国的一位著名数学家帕斯卡碰到了一位赌徒，这位赌徒大胆地向帕斯卡请教问题，他问：“有一天甲和乙两个人为了一个事而争吵，他们俩就开始打赌，打赌的规则是五局三胜制，要是谁率先赢了三局，那就获胜，赌注是100法郎。假设甲乙两个人获胜的概率相等，均为1/2，但是在打赌过程中发生了一些事，当打赌进行到第三局时，这时候甲已经赢了两局，而乙只赢了一局，请通过分析计算，甲乙两人到底要如何分配这100法郎才对两者公平呢？

首先根据以往所学的概率论知识，我们可以明显看出，甲获胜的概率显然要大于乙，这是为什么呢？分析可知，每一场比赛甲乙获胜的概率都为1/2，那么由问题内容可知，如果甲后两局全部输的话，那概率可表示为：(1/2)×(1/2）=1/4，所以甲要想获得这100法郎，就要在剩下的两局中要么赢两局，要么只赢其中一局，则甲获胜的概率可以表示为：1－(1/4)=3/4，所以甲获胜的概率是3/4，换句话说就是甲在此次比赛中要想获胜并赢得100法郎的概率是3/4；同样地，相比较而言，要是乙也想获得此次比赛的胜利并且拿到这100法郎，就必须在剩余两局中都要赢，那么通过题意可以分析出，乙在剩下的两局中如果都获胜的话，在这种情况下，概率就可以表示成(1/2)×(1/2)=1/4，结合而言就是乙最终只有1/4的机会可以赢得此次比赛，换句话说就是乙有1/4的几率可以获得这100法郎。由此可见，虽然因为某些原因中止了比赛，但是依据上述计算可以推断，甲乙双方最终获胜的期望值分别为3/4和1/4，所以，由对应的期望值计算可得，对于甲乙两个人而言，为了公平起见，就要合理地分配这100法郎，也就是甲最终可以拿到100×3/4=75(法郎)，乙最终可以拿到100×1/4=25(法郎)，这样的分配才能使甲乙两人顺理成章地获得自己的奖励。在这个故事中“期望”这个词一直贯穿其中，因而这就是“数学期望”的来源所在。

在概率论和统计学中，数学期望，简称期望。又称为均值，它表示的是在某次试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是一种加权平均数。它反映了随机变量平均取值的大小，是最基本的数学特征之一。而需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”，它与每一个结果都不相等。它是该变量输出值的平均数，并不一定包含于变量的输出值集合里。大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。

1.2 研究数学期望的目的与意义

1.2.1研究目的

首先，随着现代教育的发展迅速，新课程标准越来越注重对于实际问题应用方面的教学，在数学的教学中，我们往往会发现多数的数学应用题都与我们的日常生活有着很大的联系，而对于那些求平均值的数学问题往往就要用到数学期望的知识，因此数学期望在日常教学中占有非常重要的地位；其次数学期望作为统计学中最基本的数学特征之一，它的涉及范围很广，能够应用于生活中的各个领域，比如在商店进货方面应该如何确定进货量，或者是面对风险应该如何选择合理的投资方案，再或者是在运输方式的选择上应该如何做到既便利又节约等等。而本课题的主要研究目的是通过观察生活中的点点滴滴，探索并分析日常生活中的各种实际问题，并运用数学期望的知识去解决生活中的一系列问题，让学生在遇到各种实际问题的时候思维更发散、更灵敏，激发学生学习数学的兴趣以及探索实际问题的动力，同时提升学生在数学方面的素养，让学生明白数学中的素材大多来自于生活，要学会将知识与实际相联系。

1.2.2研究意义

从理论意义上来说，数学期望是指随机变量的一切可能值与对应的概率的乘积之和，它是一种加权平均数。它反映了随机变量平均取值的大小，是随机变量按概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置，是最基本的数学特征之一。

从实际意义上来说，当遇到相对较复杂的问题时，如果仅仅运用一般的求平均值的方法那肯定是远远不够的，甚至还不一定能求解出来。而在现在的教学模式之下，运用数学期望求解问题已经成为一种普遍的研究求平均值问题的方法，它不仅能够将实际生活中遇到的各类抽象模型转化成较为简洁易懂的数学问题，从而降低思维难度，使学生面对此类问题的时候不再仅拘束于一般的求平均值的方法，而是看到问题会第一时间想到运用数学期望的方法来求解会更简单一些。同时我们在研究各类数学问题的时候如果要让读者坚信问题结果的真实性，就往往需要凭借可靠扎实的理论依据来支撑，而数学期望这个方法正好为以后的进一步探索分析问题提供可靠扎实的理论依据，这种依据不仅在如今甚至未来数学家的研究工作中会用到，而且在日常的数学教学中也常常会用到。

参考文献

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