浅谈数学归纳法在数学问题中的应用

浅谈数学归纳法在数学问题中的应用

摘要

本文首先就数学归纳法的种类、定义、产生背景以及在高中和大学数学中常见的几种应用做了详细的介绍.数学归纳法常用的有第一数学归纳法与第二数学归纳法，虽然它们表现形式相似，但并不完全相同.数学归纳法不仅在高中代数中的不等式及恒等式的证明、部分三角函数的求解、数列的通项求解以及组合计数中有着良好的运用，在高中的几何问题中也有着出色的发挥。在大学的数学分析中的证明问题以及高等代数中的矩阵和行列式的运算，数学归纳法也发挥着非比寻常的作用.数学归纳法证明某些定理和问题，不仅显得思路清晰，还能找出其相应的递推关系，是数学问题解决过程中不可多得的解题工具.而且数学归纳法提供的不仅仅是解题的方法，它还能让我们学会一种“化无限为有限”的辩证思维.

关键词：数学归纳法,中学数学,大学数学,应用

1. 引言 1

1.1数学归纳法的历史 1

1.2数学归纳法在数学问题中的应用 2

2.数学归纳法的基本原理 4

2.1第一数学归纳法 4

2.2第二数学归纳法 4

2.3数学归纳法的其他形式 5

3.数学归纳法在高中数学中的应用 7

3.1数学归纳法在代数中的应用 7

3.1.1数学归纳法在证明恒等式和不等式中的应用 7

3.1.2数学归纳法在三角函数中的应用 8

3.1.3数学归纳法在数列中的应用 9

3.1.4数学归纳法在组合计数中的应用 10

3.2数学归纳法在几何中的应用 11

3.2.1在平面几何中的应用 12

3.2.2数学归纳法在立体几何中的应用 12

4. 数学归纳法在大学数学问题中的应用 14

4.1数学归纳法在分析及高代问题中的应用 14

4.1.1数学归纳法在分析证明题中的应用 14

4.1.2数学归纳法在行列式及矩阵中的应用 15

4.2数学归纳法在解析几何中的应用 17

参考文献 20

致谢 21

1.引言

在高中数学中我们已经学习过了数学归纳法。但是，在高中学校期间，我们主要的使用数学归纳法的方法只是简单的模仿它的三步骤，通常我们只是满足于“时成立，假设时成立，若时也成立，命题即成立”的证明方法。看上去，数学归纳法似乎非常简单，但事实上，数学归纳法在数学中是种非常常用的证明方法，但它又有着一种重要且独特的作用，它能使学生了解一种“化无限量为有限量”的辩证的思维方法。虽然其看着十分简单，但我们在使用及学习它的过程中，通常会产生这样一个困惑：它的三个步骤是不是真的完备呢？比如其中的第二步是假设为真，但“假设它为真”只是单纯的假设，如若这个假设本身就是错误的，用错误去推真岂不是“无稽之谈”，即使能推出为真，就能推出是真的么？当然，在老师看来这种方法是非常完整的，但又是什么原理让老师们对这结论如此相信呢？我想如果能够让我们熟悉数学归纳法的由来和本质，通过对它的详细了解我们就能更好的理解数学归纳法以及对它的运用，在运用数学归纳法时，我们当然知道这三个步骤一定是正确的，但是它是怎样被人发现的呢？而且数学归纳法这种方法只是用来检验一个推论是否正确，并不能用来求解，可见数学归纳法也有自己的适用范围和局限性，但它的局限性又有多大呢？这些问题都要我们从它在数学问题里的实际应用中来了解。

1.1数学归纳法的历史

最早使用数学归纳法的人是。1575年，在他的《算术》（）中，在书中利用递推关系巧妙的证出：前个奇数的总合是，由此总结出了数学归纳法[9]。

无论是弗朗西斯科·毛罗利科还是帕斯卡。甚至是伯努利以及他之后的数学家们，虽然都在不断地使用数学归纳法这一方法。但并没有给他们使用的方法以命名。直到沃利斯以及雅各布·伯努利，他们才引进了“归纳法”这一名称。并以两种截然不同的意义应用于数学：第一种是，以特值获得一般结论的沃利斯方式；而第二种则是指定的步骤证论。这种两种定义混用的状态大约持续了140年，直到19世纪上半叶，英国数学家G·皮科克（，1791-1858）在他的《代数学》一书中排列与组合的部分谈到：梅成的规律，可以从预攫意义上以沃利斯方式使用归纳法，从而使其延伸到任意数。而后，他又将从1到的论证称之为“证明归纳法”[10]。

但是在“归纳法”名称上迈出最重要的一步的人是英国数学家德摩根（，1806-1871）。德摩根在他1838年出版的一本叫作《小百科全书》的条目“归纳法（数学）”里建议使用了“逐收归纳法”这一名称，但巧合的是，在该条目的最后他使用了“数学归纳法”这一术语，这是我们所能看到这一术语最早的使用。“证明归纳法”和“数学归纳法”这两种名称后来为英国数学家托德亨特（，1820-1884）所采用，并因此得到广泛的传播。在其《代数》一书中介绍这种证明方法时，他使用了这两个名称，但该章的题目却一直是“数学归纳法”。这两名称后来又被英国逻辑学家杰文斯（，1835-1882）的《逻辑初等教程》以及菲科林（）的《完全代数》所使用。随着时间的推移，后来的教科书作者都只用“数学归纳法”这一名称，而不再使用“证明归纳法”[10]。

1.2数学归纳法在数学问题中的应用

数学归纳法这一证明方法在数学解题中有着广泛的应用，在数学证明中常用在证明与自然数有关的恒等式、不等式、数列、几何等命题中。

数学归纳法是中学数学学习过程中的重点与难点之一。重点是因为数学归纳法的适用范围非常大；而称其为难点是因为它是我们第一次接触到从有限到无限的认识方法，同时涉及到的技巧以及知识较多。

数学中有许多与自然数1到有关的问题，而这些问题的证明以及求解惯用的方法之一就是数学归纳法。所以数学归纳法既是高考中的热点，又是学习中的难点，如其他证明方式相比，数学归纳法解题格式固定，常使得我们觉得简单易懂，事实上很难理解其基本原理以及思维方法。

数学归纳法是一种在数学证明问题中有着广泛应用的证明方法，它不仅可以用来证明与有关的初等代数命题，即使在高等代数中它的贡献也很突出。这从《高等代数》中多处定理和习题的证明都要用到数学归纳法可以看出，这是由高等代数内容体系所决定的，其中许多题目及定理中的向量空间的维数或者矩阵的阶数都与自然数有关，而使用数学归纳法证明这些定理和习题，既显得思路清晰，又能找出其相应的递推关系，非常有效，而且有时还非用不可。

参考文献

[1]　邓东皋,伊小玲编著.数学分析简明教程[M],第二版.北京:高等教育出版社,2006.

[2]　张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999(02),102-106.

[3]　潘宏俊.数学归纳法在数列中的应用[J].中学生数理化（学习研版）,2016(12),9.

[4]　张雪.用数学归纳法解组合问题[J].中等数学,2012(02),5-6.

[5]　肖海燕,代钦.数学归纳法在几何教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报,2011,24(4),130-131.

[6]　祝存建,解析几何中的归纳思想[J],数学大世界,2011(8),21-22.

[7]　刘绍学.数学选修4-5[M],不等式选讲.北京:人民教育出版社,2005.

[8]　北京大学数学系,几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M],第三版.北京:高等教育出版社,2003.

[9]　唐子周.关于数学归纳法的一点探索[J].中国科技信息,2008,03,238-239.

[10]　张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J],辽宁师范大学学报.1999,22(2)105-106.

[11]　郑文祥.第一、第二数学归纳法及反证法直接的关系[J].曲阜师范学院报(自然科学版).1981(2),34-36.