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例谈巧用圆锥曲线定义求最值问题
澧县职业中专   戴文君
在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 通常是利用函数的观点, 建立函数表达式进行求解。但是, 一味的强调函数观点, 有时会使思维陷入僵局。这时, 若能考虑用圆锥曲线的定义来求解, 问题就显得特别的简单。下面就列举一些例子加以说明。
例1、2008年福州市数学质检文科、理科的选择题第12题：
如图，M是以A、B为焦点的双曲线右支上任一点，若点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是（   ）
A、              B、
C、      D、
 
分析：此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义，则势如破竹。解法如下：
连结MA，由双曲线的第一定义可得：
 当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。如果此题就到此为止，未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作如下的探究：
（1）如果M点在左支上，则点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？
（2）如果M是以A、B为焦点的椭圆上任一点，若点M到点与点B的距离之差为S，则S的最大值是多少？
（3）如果M是以A、B为焦点的椭圆上任一点，若点M到点与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？
 
分析：连结MA，由椭圆的第一定义可得：
，当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值，如上图所示。对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单，在此就不一一列举了。
例2、2008年福建省高考数学试题选择题文科第12题、理科的第11题：
双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂, 若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|,则双曲线离心率的取值范围为
A、(1,3) B、 C、(3,+)     D、
分析：若能利用双曲线的第一定义，则迅速获解. 解法如下：不妨设|PF₂|=m，则|PF₁|=2m，
故a=m, 由|PF₁|+|PF₂|≥| F₁F₂|可得, 故选B.
例3、如图，椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为－1的直线交椭圆于B点，点P（1，0）, 且BP∥y轴，△APB的面积为.
（1）求椭圆C的方程；（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程.
分析：同样, 此题若采用函数观点, 问题（2）将变得复杂化！若能利用双曲线的第一定义，则解答就容解易得多了。
简解：（1） 又∠PAB＝45°，
AP＝PB，故AP＝BP＝3.
∵P（1,0），A（－2,0），B（1,－3）
∴　b=2，将B（1，－3）代入椭圆得：
得 ，所求椭圆方程为
（2）设椭圆C的焦点为F₁，F₂，则易知F₁（0,－）F₂（0，），
直线的方程为：，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，
只须｜｜MF₁｜－｜MF₂｜｜最大，设F₁（0，－）关于直线的对称点为
（－2，－2），则直线与直线的交点为所求M， 因为的方程为：, 联立  得M（）
又=｜｜MF₁｜-｜MF₂｜｜=｜｜M｜－｜MF₂｜｜
＝＝2，故，
故所求双曲线方程为：
练习：已知两点M(-2, 0)，N(2, 0)，动点P(x, y)在y轴上的射影为H，是2和的等比中项.（1）求动点P的轨迹方程；（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程.
总之，在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 若能根据题目的实际条件, 考虑用圆锥曲线的定义来求解, 就能起到出奇制胜的效果。总而言之，在教学过程中，不应轻易错过某一细节，如果能够对一些细节问题进行探究反思，就可以提高教学质量，从而提高学生的数学成绩。